Menentukan Banyak Angka Nol Berurutan (tidak terputus) Di Akhir Suatu Bilangan

Oke Guys pada kesempatan kali ini saya akan berbagi materi menentukan banyaknya angka nol berurutan di akhir suatu bilangan, maksud "berurutan" berarti angka nolnya tidak terputus atau terhalang angka lain, misalnya $2348000000$ memiliki $6$ angka nol berurutan, $231002000$ memiliki $3$ angka nol berurutan. Ngerti kan maksudnya? jadi kita cuma akan menentukan banyaknya angka nol berurutan di akhir suatu bilangan. Oke kita mulai aja materinya, materinya akan saya bagi menjadi dua bagian, perhatikan baik-baik:

1. Menentukan Angka Nol Berurutan Bilangan Faktorial

yang pertama, kita akan menentukan banyaknya angka nol berurutan di akhir suatu bilangan faktorial, biar lebih jelas perhatikan contoh berikut:

Tentukan banyak angka nol berurutan dari:

a. $100!$

b. $250!$

c. $2017!$

Sebelum kita jawab soal di atas, perhatikan Formula yang akan kita gunakan berikut ini:

Keterangan:
Tanda "$\left\lfloor k \right\rfloor$" artinya kita ambil bilangan bulat yang nilainya kurang atau sama dengan $k$.

Sekarang kita akan coba menggunakan formula di atas untuk menjawab soal yang tadi:

Tentukan banyak angka nol berurutan dari:

a. $100!$

b. $250!$

c. $2017!$

JAWAB:

a. Banyak angka nol berurutan hasil dari $100!$ :

$\begin{align*}N&=\left \lfloor \frac{100}{5} \right \rfloor+\left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor\\&= 20 + 4 \\&= 24\end{align*}$

Jadi, hasil dari $100!$ memiliki sebanyak $24$ angka nol berurutan diakhir

b. Banyak angka nol berurutan hasil dari $250!$ :

$\begin{align*}N&=\left\lfloor\frac{250}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{250}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{250}{125}\right\rfloor\\&=50+10+2\\&=62\end{align*}$

Jadi, hasil dari $250!$ memiliki sebanyak $62$ angka nol berurutan diakhir

c. Banyak angka nol berurutan hasil dari $2017!$ :

$\begin{align*}N&=\left\lfloor\frac{2017}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2017}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2017}{125}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2017}{625}\right\rfloor\\&=403+80+16+3\\&=502\end{align*}$

Jadi, hasil dari $2017!$ memiliki sebanyak $502$ angka nol berurutan diakhir

2. Menentukan Banyaknya Angka Nol Berurutan dari Hasil Perkalian
Sekarang yang kedua, kita akan menentukan banyaknya angka nol berurutan dari hasil suatu perkalian, perhatikan contoh-contoh berikut:

CONTOH 1
Tentukan banyaknya angka nol tak terputus di akhir hasil operasi berikut:
1. $2^{10}\times 3^{2} \times 5^{15}$
2. $2^{2017}\times 5^{2015}\times 7^{2017}$
3. $8^{15}\times 5^{25}$

JAWAB:
1. Perhatikan bahwa angka nol terjadi sebagai hasil perkalian $2\times 5$, maka:

$\begin{align*}2^{10}\times 3^{2} \times 5^{15} &=(2^{10}\times5^{10})\times5^5\times3^2\\&=(2\times5)^{10}\times5^5\times3^2\\&=10^{10}\times5^3\times3^2\end{align*}$

Jadi, bilangan tersebut memiliki $10$ angka nol tak terputus di bagian akhir

2. Dengan cara yang sama, maka

$\begin{align*}2^{2017}\times5^{2015}\times7^{2017}&=2^{2015}\times5^{2015}\times2^{2}\times7^{2017}\\&=(2\times5)^{2015}\times2^{2}\times7^{2017}\\&=10^{2015}\times2^{2}\times7^{2017}\end{align*}$

Jadi, bilangan tersebut memiliki $2015$ angka nol tak terputus di bagian akhir

3. Dengan cara yang sama, maka:

$\begin{align*}8^{15}\times 5^{25}&=(2^{3})^{15}\times5^{25}\\&=2^{45}\times5^{25}\\&=2^{25}\times5^{25}\times2^{20}\\&=(2\times5)^{25}\times2^{20}\\&=10^{25}\times2^{20}\end{align*}$

Jadi, bilangan tersebut memiliki $25$ angka nol tak terputus di bagian akhir

CONTOH 2
Tentukan banyaknya angka nol tak terputus di akhir hasil operasi berikut:
1. $3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10$
2. $21\times22\times23\times24\times25\times26\times27\times28\times29\times30$

JAWAB
1. $3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10$
$=3\times(2\times2)\times5\times(2\times3)\times7\times(2\times2\times2)\times9\times(2\times5)$
Karena memiliki $7$ faktor $2$ dan $2$ faktor $5$, maka bilangan ini memeiliki $2$ angka nol di akhir.

2.  $21\times22\times23\times24\times25\times26\times27\times28\times29\times30$
$=21\times22\times23\times24\times(5\times5)\times26\times27\times28\times29\times(5\times6)$
Terlihat bahwa bilangan tersebut memiliki memiliki faktor $5$ sebanyak $3$, banyaknya faktor $2$ tidak perlu kita hitung sebab pasti lebih banyak dari banyaknya faktor $5$, dengan demikian bilangan ini memiliki $3$ angka dol di akhir.