Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel)

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas sebuah ketaksamaan yang sangat penting dalam matematika, yaitu ketaksamaan Chaucy Schwarz (Cauchy-Schwarz Inequality). Bagi kalian yang akan berkompetisi dalam olimpiade matematika Ketaksamaan Chaucy Schwarz bersama dengan $AM-GM$ merupakan "senjata" yang wajib kalian kuasai, jadi baca dan pelajari tulisan ini sampai selesai ☺

Teorema Chaucy Schwarz:

Misalkan $a_1, a_2, ..., a_n$ dan $b_1, b_2, ... , b_n$ adalah bilangan-bilangan real, maka berlaku:

$$(a_1^{2}+a_2^{2}+...+a_n^{2})(b_1^{2}+b_2^{2}+...+b_n^{2})\geq (a_1b_1+a_2b_2+...+a_n b_n)^{2}$$

kesamaan terjadi jika dan hanya jika $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}$

ketaksamaan di atas dapat juga di tulis:
$$\boxed{\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}\right)^{2}\leq\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^{2}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^{2}\right)}$$

BUKTI

Didefinisikan fungsi $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dengan $$F(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-tb_{k})^{2}$$
tampak jelas bahwa $F$ merupakan fungsi tak negatif, oleh karena itu diperoleh:

\begin{align*}F(t)&=\sum_{k=1}^{n}a_{k}^2-2ta_{k}b_{k}+t^2b_k^2\\&=\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k^2 \right )t^2-2\left ( \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \right )t+\left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 \right )\geq 0\end{align*} 

karena $F(t)\geq0$ maka diskriminannya $\leq 0$ :

\begin{align*}4\left ( \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \right )^2-4\left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 \right )\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k^2 \right )&\leq0\\4\left ( \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \right )^2&\leq4\left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 \right )\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k^2 \right )\\\left ( \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \right )^2&\leq\left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 \right )\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k^2 \right )\hspace{1cm}\blacksquare\end{align*}

pada Ketaksamaan Chaucy Schwarz  apabila kita pilih $a_i=\frac{t_i}{\sqrt{w_i}}$ dan $b_i=\sqrt{w_i}$ dengan $i=\left \{ 1, 2, 3, ... n \right \}$ dan $w_i\geq0$, maka diperoleh:
\small\begin{align*}\left ( \frac{t_1^2}{w_1} +\frac{t_2^2}{w_2}+...+\frac{t_n^2}{w_n}\right )\left ( w_1+w_2+...+w_n \right )&\geq\left ( t_1+t_2+...+t_n \right )^2\\ \frac{t_1^2}{w_1} +\frac{t_2^2}{w_2}+...+\frac{t_n^2}{w_n}&\geq\frac{\left ( t_1+t_2+...+t_n\right )^2}{w_1+w_2+...+w_n}\end{align*}

Bentuk ketaksamaan diatas dikenal dengan Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel) yang dipopulerkan oleh Arthur Engel, ketaksamaan ini dikenal juga dengan "Lemma Titu" atau "Lemma Andreescu".

Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel):

Untuk sembarang bilangan Real $t_1, t_2, t_3, ..., t_n$ dan sembarang bilangan real positif $w_1, w_2, w_3, ... , w_n$ berlaku
$$\frac{{t_{1}}^{2}}{w_{1}}+\frac{{t_{2}}^{2}}{w_{2}}+\frac{{t_{3}}^{2}}{w_{3}}+...+\frac{{t_{n}}^{2}}{w_{n}}\geq\frac{(t_1+t_2+t_3+...+t_n)^{2}}{w_1+w_2+w_3+...+w_n}$$

CONTOH SOAL

SOAL 1

Untuk $a, b, c$ bilangan real positif, buktikan
$$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9$$

Pembahasan:

Perhatikan bahwa:
$\small\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\left [ \left ( \sqrt{a} \right )^2 +\left ( \sqrt{b} \right )^2+\left ( \sqrt{c} \right )^2\right ]\left [ \left ( \frac{1}{\sqrt{a}} \right )^2+\left ( \frac{1}{\sqrt{b}} \right )^2+\left (  \frac{1}{\sqrt{c}}\right )^2 \right ]$

berdasarkan Ketaksamaan Chaucy Schwarz, maka:

$\scriptsize\begin{align*} \left [ \left ( \sqrt{a} \right )^2 +\left ( \sqrt{b} \right )^2+\left ( \sqrt{c} \right )^2\right ]\left [ \left ( \frac{1}{\sqrt{a}} \right )^2+\left ( \frac{1}{\sqrt{b}} \right )^2+\left (  \frac{1}{\sqrt{c}}\right )^2 \right ]&\geq\left ( \sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}} \right )^2\\ &\geq\left ( 1+1+1 \right )^2\\ &\geq 3^2\\ &\geq 9 \end{align*}$

SOAL 2 (South Africa, 1995)
Tunjukkan untuk setiap bilangan real positif $a, b, c, d$ berlaku
$$\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right )\geq 64$$

Pembahasan:

Perhatikan bahwa $\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right )$ dapat kita tulis $\left ( \frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right )$, sehingga berdasarkan CS Engel:
$$\begin{align*}\left ( \frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right )&\geq\frac{\left (1+1+2+4 \right )^2}{a+b+c+d}\\&\geq \frac{8^2}{a+b+c+d}\\ &\geq \frac{64}{a+b+c+d}\end{align*}$$
sehingga:
$$\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right )\geq 64$$

Penting:
Saya sarankan anda membuka blog ini menggunakan PC/laptop, karena jika menggunakan mobile/android kemungkinan tampilan persamaan matematika yang panjang akan terpotong, jika memang terpaksa menggunakan mobile/android maka saya sarankan dalam posisi landscape dan pastikan setting rotasi layar dalam kondisi aktif.


$\blacksquare$ Denih Handayani, 2017