KOMBINATORIK

A.    KAIDAH PENCACAHAN

1.      Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots)

Jika terdapat n buah tempat yang tersedia, dengan:

k1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama

k2 = banyaknya cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi

k3 = banyaknya cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat kedua terisi]

kn = banyaknya cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat ke (n-1) terisi

maka banyaknya cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah

 k1 x k2 x k3 x … x kn

Contoh 1:

Seseorang mempunyai 3 kemeja dan 2 celana berbeda. Dengan berapa carakah orang tersebut dapat menggunakan setelan pakaian?

Jawab:

Kejadian pertama dapat diisi dengan 3 cara.

Kejadian kedua dapat diisi dengan 2 cara.

Banyaknya cara yang dapat terjadi: 3 × 2 = 6 cara

Contoh 2:

Dari lima buah angka 4,5,6,7,8 hendak disusun bilangan genap yang terdiri atas 3 angka. Berapakah banyaknya bilangan yang dapat disusun jika bilangan tersebut boleh ada yang sama dan jika tidak boleh ada yang sama.

Jawab:

Jika boleh ada yang sama:

Angka pertama (ratusan) dapat memilih 5 angka

Angka kedua (puluhan) dapat memilih 5 angka

Angka ketiga (satuan) dapat memilih 3 angka

Jadi banyaknya bilangan genap yang dapat disusun adalah 5 ×  5 ×  3 = 75 Bilangan

Jika tidak boleh ada yang sama:

Karena tidak boleh ada yang sama maka kita dengan satuan

Angka ketiga (satuan) dapat memilih 3 angka

Angka kedua (puluhan) dapat memilih 4  angka

Angka pertama (ratusan) dapat memilih 3 angka

Jadi banyaknya bilangan genap yang dapat disusun adalah 3 ×  4 × 3 = 36 Bilangan

2.      Kidah Penjumlahan

Kaidah penjumlahan dilakukan jika  unsur-unsur yang tersedia tidak dipilih atau tidak digunakan secara bersama-sama.

Contoh:

Andi memiliki 3 mobil,2 sepeda motor, dan 4 sepeda. Ada berapakah banyaknya cara Andi pergi kesekolah dengan kendaraan tersebut?

Jawab:

Banyaknya cara pergi kesekolah dengan kendaraan tersebut adalah 3 + 2 + 4 = 9 cara

3.      Kaidah Perkalian

Kaidah perkalian dilakukan jika unsur-unsur yang tersedia digunakan secara bersamaan.

Contoh:

Seseorang hendak bepergian dari kota A ke kota C.

Dari kota A ke kota B terdapat 5 jalan, dan dari kota B ke kota C terdapat 2 jalan. Ada berapakah banyaknya jalur yang dapt ditempuh orang tersebut dari kota A ke kota C melalui kota B?

Jawab:

Banyaknya jalur yang dapat ditempuh orang tersebut dari kota A ke kota C melalui kota B adalah

5 x 2 =10

B.     PERMUTASI

Secara umum banyaknya permutasi dari n objek diambil r objek dinotasikan nPr atau P(n,r)

P(n,r) = n! / (n-r)!

Dengan catatan r ≤ n

Yang harus diperhatikan dalam permutasi adalah dalam permutasi Urutan Sangat diperhatikan

(ab ≠ ba).

Notasi n! dibaca n faktorial.

Untuk setiap n bil. Asli didefinisikan:

n! = n × (n-1) ×  (n-2) × (n-3) × … × 3 × 2×1

catatan: 1! = 1 dan 0! = 1

Contoh 1 (permasalahan Permutasi):

Berapakah banyaknya permutasi dari 6  unsur yang diambil 4?

Jawab:

n = 6 dan r = 4, maka:

P(6,4) = 6! / (6-4)! = (6.5.4.3.2.1)/(2.1) = 360

Contoh 2:

Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari 2 angka yang dibentuk dari angka-angka 3,4 dan 5 ?

Jawab:

P(3,2) = 3! / (3-2)! = 6 bilangan

PERMUTASI YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR YANG SAMA

Banyaknya permutasi dari n objek yang memuat k , l, dan m objek yang sama  diambil semua, maka banyaknya permutasi adalah:

P = n! / (k! × l! × m!)

Contoh:

Ada berapakah banyaknya kata yang dapat dibentuk dari huruf S, A, S ?

Jawab:

n = 3, huruf S = 2, huruf A = 1

P = 3! / 2! = 3 , yaitu kata SAS, SSA dan ASS

jika permutasi dari n objek yang memuat k , l, dan m objek yang sama  diambil r objek. maka banyaknya permutasi adalah:

P = n! / [(n-r)! (k! × l! × m!)]

Contoh:

Ada berapakah banyaknya kata yang terdiri dari 2 huruf  yang dapat dibentuk dari huruf S, A, S ?

Jawab:

n = 3, r = 2 ,  huruf S = 2, huruf A = 1

P = 3! /[(3-2)!×2!] = 3 , yaitu kata SA, SS dan AS

PERMUTASI  SIKLIS

Permutasi dari n objek yang berbeda disusun secara melingkar adalah:

P(siklis) = (n - 1) !

Contoh:

Angga, Ana, Rizka, dan Frida akan mengadakan belajar bersama pada sebuah meja bundar. Ada berapa cara mereka dapat duduk mengelilingi meja tersebut?

Jawab:

n = 4

maka;

P= (4-1)! = 3! = 6 cara

C.    KOMBINASI

Kombinasi adalah suatu susunan unsur-unsur dari sekumpulan unsur tanpa memperhatikan urutannya.

Secara umum banyaknya kombinasi dari n objek yang berbeda diambil r objek yangberbeda dapat dinotasikan dengan;

C(n,r) = n!/[(n-r)!r!]

Dengan catatan r ≤ n

Contoh:

Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng kuning. Dari kantong tersebut diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Ada berapa cara pengambilan jika kelereng yang diambil:

- ketiganya berwarna merah

- 2 kelereng berwarna merah dan 1 kelereng berwarna kuning

- banyaknya pengambilan dengan warna bebas

 Jawab:

-          Ketiganya berwarna merah

C(7,3) = 7! / [(7-3)! 3!] = 35

-          2 kelereng berwarna merah dan 1 kelereng berwarna kuning

C(7,2) × C(5,1) = [7!/(5!×2!)]×[5!/(4!×1!) = 105

-          banyaknya pengambilan dengan warna bebas

C(12,3) = 12! / (9!×3!) = 220