Menyelesaikan Soal Limit Trigonometri dengan Deret MacLaurin

Masih berkaitan dengan postingan sebelumnya disini, kali ini kita akan membahas bagaimana cara menyelesaikan limit trigonometri dengan cara berbeda, yaitu dengan menggunakan deret Maclaurin. 

Berdasarkan deret MacLaurin, fungsi $\sin x$, $\cos x$ dan $\tan x$ dapat di ekspansi sebagai berikut : (untuk mengetahui asal mula formula ini silahkan klik Link ini)

Meskipun kenyataanya Deret Maclaurin memuat suku sebanyak tak hingga, namun dalam penggunaan deret tersebut dalam peyelesaian soal Limit kita cukup menggunakan suku pertama  saja atau suku pertama dan suku kedua tergantung bentuk soal yang akan kita selesaikan.

Baiklah, perhatikan ketentuan berikut:

Pertama, jika limit $x\to 0$ fungsi trigonometri dapat diganti dengan suku pertama deret Maclaurin sebagai berikut:

Kedua, jika limit $x\to 0$ fungsi trigonometri diganti dengan suku pertama deret Maclaurin ternyata saling menghabiskan suku, maka kita gunakan dua suku dari deret Maclaurin sebagai berikut:

perhatikan contoh-contoh berikut ini

SOAL 1 SBMPTN SAINTEK 2017 KODE 155

JAWAB:

Keterangan : Kita ganti $\cos 2x$ dengan 1, $\sin x$ dengan $x$ dan $\cos x$ dengan 1

SOAL 2 SBMPTN 2016

JAWAB:

Keterangan : Kita ganti $\sin x$ dengan $x$, $\sin x\sqrt{x}$ dengan $x\sqrt{x}$ dan $\tan \sqrt{x}$ dengan $\sqrt{x}$.

SOAL 3 SBMPTN 2013

JAWAB:

Keterangan : Kita ganti $\sin 7x$ dengan $7x$, $\tan 3x$ dengan $3x$, $\sin 5x$ dengan $5x$, $\tan 9x$ dengan $9x$, $\tan 3x$ dengan $3x$, dan $\sin x$ dengan $x$

SOAL 4 UM-UGM 2011

JAWAB:

Keterangan : Kita ganti $\sin^3{2x}$ dengan $(2x)^3$, $\cos 2x$ dengan 1, dan  $\sin 2x$ dengan $2x$ 

SOAL 5 UM-UNDIP 2012

JAWAB:
Langkah pertama kita ubah dulu bentuknya:

perhatikam bagian pembilang, jika $\sin {2x}$ kita ganti dengan suku pertama deret maclaurin yaitu $2x$ maka bagian pembilang kita peroleh  $4x^2-4x^2$ ("menghabiskan suku"), sesuai ketentuan jika menghabiskan suku, maka kita gunakan dua suku dari deret maclaurin, $\sin 2x$ pada pembilang kita ganti dengan $2x-\frac{(2x)^3}{6}$ atau $2x-\frac{8x^3}{6}$. namun untuk bagian penyebut $\sin 2x$ cukup kita ganti dengan suku pertama dari deret maclaurin, yaitu $2x$.

perhatikan pembahasannya sebagai berikut:

Penggunaan Deret Maclaurin dalam menyelesaikan limit trigonometri belum begitu umum /familiar digunakan, referensi tentang materi ini masih sulit kita temukan, jadi silahkan sahabat-sahabat kembangkan lagi, saya hanya menyampaikan dasarnya saja.

Apakah menyelesaikan limit trigonometri dengan menggunakan deret Maclaurin lebih baik dibanding dengan menggunakan identitas trigonometri dan L'hopital? jawabannya tidak, ketiga metode tersebut memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing, jadi alangkah lebih baik jika kita memahami ketiga metode tersbut atau bahkan mungkin kita bisa mengkombinasikannya untuk memperoleh solusi yang lebih efektif. Untuk soal-soal di atas silahkan sahabat-sahabat coba selesaikan dengan metode lain, bandingkan dan rasakan kelebihan dan kekurangan masing-masing metode. 

Semoga postingan ini bisa memberi alternatif lain dalam menyelesaikan soal limit trigonometri, jika ada kekeliruan, kritik  maupun saran silahkan hubungi saya via email : denih.handayani@gmail.com atau isi bagian komentar.

agar lebih jelas, sahabat-sahabat bisa lihat video penjelasan penggunaan deret MacLaurin dalam menyelesaikan limit trigonometri sebagai berikut:
Video Part 1
Video Part 2
Video Part 3

Untuk latihan, silahkan download soal-soal limit pada link di bawah ini:

Download Soal-soal Limit