Persamaan Eksponensial (Matematika Peminatan Kelas X Kurikulum 2013 Revisi)

Pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang persamaan eksponensial, namun dikarenakan saya cenderung akan membahasnya secara aljabar, maka sebelumnya mari kita ingat-ingat lagi rumus-rumus perpangkatan yang telah dipelajari ketika SMP/MTs sebagai berikut:

Misalkan $a\in R$, $b\in R$, $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$
2. $a^m:a^n=a^{m-n}$
3. $(a^m)^n=a^{m\times n}$
4. $(ab)^m=a^mb^m$
5. $a^0=1$
6. $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
7. $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$

Berikui ini beberapa bentuk persamaan eksponensial:

Persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^p$
untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^p$, $a > 0$ dan $a \ne 1$ kita gunakan sifat berikut:
$$\large\boxed{a^{f(x)}=a^p\Leftrightarrow f(x)=p}$$

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : $2^{3x+1}=16$

Jawab:
$\begin{align*}2^{3x+1}&=16\\2^{3x+1}&=2^4\\ \Leftrightarrow 3x+1&=4\\3x&=3\\x&=1\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ 1\right\}$

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari: $\sqrt[3]{3^{x-7}}=\frac{1}{9}$

Jawab:

$\begin{align*}\sqrt[3]{3^{x-7}}&=\frac{1}{9}\\3^{\frac{x-7}{3}}&=3^{-2}\\ \Leftrightarrow \frac{x-7}{3}&=-2\\x-7&=-6\\x&=7-6\\x&=1\end{align*}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ 1\right\}$

Persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^{g(x)}$
persamaan berbentuk $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, $a > 0$ dan $a\ne 1$ dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat berikut: $$\large\boxed{a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)}$$

Contoh 3:
Tentukan penyelesaian persamaan eksponensial $2^{x^2+3x+4}=4^{-x-1}$

Jawab:
$\begin{align*}2^{x^2+3x+4}&=4^{-x-1}\\2^{x^2+3x+4}&=(2^2)^{-x-1}\\2^{x^2+3x+4}&=2^{-2x-2}\\ \Leftrightarrow x^2+3x+4&=-2x-2\\x^2+5x+6&=0\\(x+2)(x+3)&=0\end{align*}$
$x+2=0$ atau $x+3=0$
$x=-2$ atau $x=-3$
Jadi, penyelesaiannya adalah $x=-2$ atau $x=-3$

Persamaan Eksponensial Berbentuk $\left(a.p^{f(x)}\right)^2+b.\left(p^{f(x)}\right)+c=0$

Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini salah satu caranya dengan menggunakan pemisalan $p^{f(x)}=q$ sehingga diperoleh bentuk persamaan kuadrat $aq^2+bq+c=0$. setelah nilai $q$ diperoleh, langkah selanjutnya substitusikan kembali pada pemisalan $q=p^{f(x)}$ sehingga diperoleh nilai $x$

Contoh 4:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan $3^{2x}-4\times 3^x=-3$

Jawab:
$\begin{align*}3^{2x}-4(3^x)&=-3\\3^{2x}-4(3^x)+3&=0\\(3^x)^2-4(3^x)+3&=0\end{align*}$
Misalkan $3^x=q$, maka diperoleh :
$\begin{align*}q^2-4q+3&=0\\(q-3)(q-1)&=0\end{align*}$
$\Leftrightarrow q-3=0$ atau $q-1=0$
$q=3$ atau $q=1$

untuk $q=3$:

$\begin{align*}&\Leftrightarrow 3^x=3\\&\Leftrightarrow3^x=3^1\\&\Leftrightarrow x=1\end{align*}$

untuk $q=1$:

$\begin{align*}&\Leftrightarrow 3^x=1\\&\Leftrightarrow3^x=3^0\\&\Leftrightarrow x=0\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya $\left\{0,1\right\}$

Persamaan eksponensial bentuk $h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}$
persamaan eksponensial bentuk $h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}$ terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi 4 syarat berikut:

1. $f(x)=g(x)$
2. $h(x)=1$
3. $h(x)=0\Leftrightarrow f(x) >0$ dan $g(x) >0$
4. $h(x)=-1\Leftrightarrow (-1)^{f(x)}=(-1)^{g(x)}$

Contoh 5:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $(x-7)^{x^2-2}=(x-7)^x$

Jawab:

$(x-7)^{x^2-2}=(x-7)^x$

misalkan, $h(x)=x-7$, $f(x)=x^2-2$ dan $g(x)=x$

Kemungkinan 1:

$\begin{align*}f(x)&=g(x)\\x^2-2&=x\\x^2-x-2&=0\\(x-2)(x+1)&=0\end{align*}$

$x_1=2$ atau $x_2=-1$

Kemungkinan 2:

$\begin{align*}h(x)&=1\\x-7&=1\\x&=8\end{align*}$

Kemungkinan 3:
$h(x)=0 \Leftrightarrow f(x) > 0$ dan $g(x) >0$
$x-7=0\rightarrow x=7$

Selidiki nilai $f(7)$ dan $g(7)$:
$f(7)=7^2-2=49-2=47 > 0$
$g(7)=7 > 0$
Karena $f(7) > 0$ dan $g(7) > 0$ maka $x=7$ memenuhi penyelesaian

Kemungkinan 4:
$h(x)=-1 \Leftrightarrow (-1)^{f(x)}=(-1)^{g(x)}$

$x-7=-1 \rightarrow x=6$
Selidiki  $f(6)$ dan $g(6)$
$f(6)=6^2-2=36-2=34$ (Genap)
$g(6)=6$ (genap)
sehingga:
$(-1)^{36}=(-1)^6$
dengan demikian $x=6$ memenuhi penyelesaian

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ -1, 2,6,7,8\right\}$

Persamaan eksponensial berbentuk $f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}$
Persamaan eksponensial bentuk $f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}$ terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi dua konsdisi sebagai berikut:

1. $f(x)=g(x)$
2. $h(x)=0\Leftrightarrow f(x)\ne 0, g(x)\ne 0$

Contoh 6:

Tentukan himpunan penyelesaian dari : $(x+2)^{x+1}=(2x+6)^{x+1}$

Jawab:

$f(x)=x+2$

$g(x)=2x+6$

$h(x)=x+1$

Kemungkinan 1:

$\begin{align*}f(x)&=g(x)\\x+2&=2x+6\\-x&=4\\x&=-4\end{align*}$

Kemungkinan 2:

$\begin{align*}h(x)&=0\\x+1&=0\\x&=-1\end{align*}$

Substitusikan $x=-1$ ke $f(x)$ dan $g(x)$:
$f(-1)=-1+2=1\ne 0$
$g(-1)=2(-1)+6=4\ne 0$
karena $f(-1)\ne 0$ dan $g(-1)\ne 0$ maka $x=-1$ memenuhi penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{-4, -1\right\}$

$\blacksquare$ Denih Handayani, 2017

Sumber:
BK. Noormandiri. Matematika Kelompok Peminatan Kelas X. Erlangga. 2016
Miyanto dkk. Matematika Peminatan Kelas X Semester 1.Intan Pariwara.2016