Kesalahpahaman Mengenai Asimtot: Asimtot Bisa berpotongan dengan Kurva dan Asimtot Tidak Selalu Garis Lurus

Tulisan kali terinspirasi dari soal SBMPTN Saintek 2017 (download soal SBMPTN 2017 pada link ini). Dalam beberapa kode soal, kita menemukan soal tentang asimtot, baik asimtot tegak maupun asimtot datar dari fungsi rasional, sementara materi ini tidak diajarkan di sekolah. Atas dasar itu saya mencoba mempelajari dari berbagai sumber, dan luar biasa ternyata saya menemukan hal-hal baru yang menarik tentang asimtot (lebih tepatnya saya pribadi yang baru mengetahuinya). Tulisan ini saya awali dengan dua pertanyaan yang mungkin bisa rekan-rekan jawab:

1. Menurut rekan-rekan apakah benar asimtot tidak pernah/tidak mungkin berpotongan dengan garis lengkung (kurva)?
2. Menurut rekan-rekan apakah benar asimtot selalu berupa garis lurus?

Awalnya saya pribadi beranggapan asimtot tidak pernah memotong garis lengkung (kurva) dan asimtot pasti berupa garis lurus. Namun ternyata saya KELIRU. 

Lho kok keliru? jadi yang benar bagai mana? 

Oke, sabar-sabar.... 

mari kita bandingkan asimtot secara definisi dengan fakta sebagai berikut:

Asimtot secara definisi

Asimtot menurut ensiklopedia matematika:

Asimtot adalah garis yang tidak pernah dipotong oleh suatu garis lengkung namun di dekati sampai tak terbatas.

Asimtot menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI):

Asimtot adalah garis lurus yang makin didekati oleh suatu lengkungan, tetapi tidak pernah dipotong.

Pada kedua definisi di atas tampak jelas menyatakan bahwa:

1. Asimtot tidak pernah dipotong oleh kurva.
2. Asimtot berupa garis lurus.

Sekarang, mari kita bandingkan dengan fakta berikut ini:

Fakta tentang Asimtot

Pada bagian ini, saya akan menyajikan beberapa grafik fungsi rasional yang saya buat menggunakan aplikasi online pada web www.symbolab.com dan www.wolframalpha.com Sebagai pembanding, silakan rekan-rekan bisa mencoba juga menggunakan aplikasi lain

Fakta 1: "Kurva bisa memotong asimtot"

Kita ambil contoh salahsatu fungsi rasional $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$, asimtotnya adalah sumbu $x$ atau garis $y=0$, berikut ini grafik dari fungsi tersebut, bisa kita lihat bahwa fungsi tersebut memotong asimtot pada $x=0$.

Apakah mungkin kurva memotong asimtot lebih dari satu kali? Jawabannya tentu saja mungkin. 

Sekarang, kita coba ambil fungsi $f(x)=\frac{x^2+4x+1}{x^3+1}$, dan berikut ini grafiknya:

Perhatikan grafik di atas, kurva memotong asimtot sebanyak dua kali. Bahkan, kurva bisa memotong asimtot bisa lebih dari dua kali, contohnya grafik berikut:

Pada grafik fungsi di atas, kurva memotong asimtot beberapa kali.

Terkait dengan kurva dapat memotong asimtot atau tidak, seseorang menanyakan hal ini pada sebuah forum matematika (mathforum.org), berikut ini jawaban Doctor Peterson mengenai pertanyaan tersebut:

Doctor Peterson mengatakan mengenai kurva tidak pernah memotong asimtot merupakan kesalahpahaman (miskonsepsi), mestinya penekanan definisi asimtot bukanlah pada memotong atau tidak memotong kurva, namun pada mendekati kurva.

Nah, itulah beberapa bukti bahwa kurva bisa memotong asimtot, sekarang bagaimana dengan bentuk asimtot sendiri? apakah betul selalu berupa garis lurus? jawabannya, tidak. Anggapan bahwa asimtot selalu berupa garis lurus merupakan sebuah kesalahpahaman sama halnya dengan anggapan kita bahwa kurva dengan asimtot tidak pernah berpotongan.

Fakta 2: "Asimtot bisa berupa garis lengkung (kurva)"

Misal kita ambil fungsi rasional $f(x) =\frac{x^3+2x^2+3x+4}{x} $,  dengan menggunakan wolframalpha, untuk fungsi tersebut, kita peroleh grafiknya sebagai berikut:

bisa kita lihat pada grafik di atas, asimtot fungsi tersebut berupa parabola. 

Contoh lain, mari kita lihat grafik dari fungsi $f(x)=\frac{4x^8+5x^2}{x^3+10}$ sebagai berikut:

Perhatikan grafik di atas, asimtot pada grafik di atas berupa fungsi polinomial derajat tiga. tentu bukan garis lurus (linear). 



Kesimpulan:

1. Kurva bisa memotong asimtot, kecuali asimtot tegak (alasan kenapa tidak pernah memotong asimtot tegak kita bahas pada tulisan berikutnya).
2. Asimtot bisa berupa kurva. 

Baca juga: Cara menentukan asimtot fungsi rasional

Jika ada kritik/saran silakan isi komentar. Semoga bermanfaat:

$\blacksquare$ Denih Handayani, 30 Agustus 2017