Polinomial (Suku Banyak) bagian 1

Untuk kurikulum 2013 materi polinomial ini di ajarkan pada matematika peminatan kelas XI, insyaAlloh pada tulisan ini saya akan membahas materi polinomial secara lengkap. Sebelum kita mulai silakan siapkan dulu cemilan 😀

1. Apakah Polinomial Itu?

Masih ingat dengan fungsi linear dan fungsi kuadrat? kedua fungsi tersebut merupakan contoh dari polinomial (suku banyak) dalam satu variabel. Bentuk umum polinomial satu variabel dapat ditulis sebagai berikut:

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$$

dengan $n$ eksponen dari variabel $x$ dan $n$ merupakan bilangan bulat non negatif.

Karena eksponen harus bilangan bulat non negatif, maka jika variabel $x$ berpangkat negatif, misalnya $x^{-2}$ atau $\frac{1}{x^{-2}}$ bukan polinomial. Begitu pula jika varibel $x$ berpangkat pecahan, misalnya $x^{\frac{1}{2}}$ atau $\sqrt{x}$, bukan polinomial. Untuk lebih jelas, perhatikan beberapa contoh berikut:

Contoh polinomial:

1. $f(x)=3x^3-2x^2+7x-1$
2. $f(x)=-6x^2-3x+6$
3. $f(x)=5x-1$
4. $f(x)=7$

Contoh bukan polinomial:

1. $f(x)=x^2-6x^{-2}+3$ bukan polinomial, karena terdapat pangkat variabel bernilai negatif.
2. $f(x)=x^3-2x-\sqrt{x}$ bukan polinomial karena terdapat pangkat variabel berupa pecahan (akar) 

2. Suku Utama, Derajat, dan Koefisien Utama

Pada polinomial (suku banyak) ada yang disebut dengan suku utama, derajat, dan koefisien utama, berikut ini definisinya:

1. Suku utama adalah suku yang memuat pangkat tertinggi.
2. Derajat adalah nilai pangkat tertinggi.
3. Koefisien utama adalah koefisien dari variaber yang memiliki pangkat tertinggi

Contoh:
Perhatikan polinomial berikut:
$$f(x)=5x^4-2x^3+7x-10$$
Pada polinomial di atas kita dapat melihat pangkat tertinggi dari variabel $x$ adalah $4$, artinya polinomial tersebut berderajat $4$, koefisien dari variabel pangkat tertinggi $(x^4)$ adalah $5$, dengan demikian $5$ adalah koefisien utama. Sedangkan suku utama adalah suku yang memuat pangkat tertinggi, yaitu $5x^4$.

3. Menghitung Nilai Polinomial

Misal suatu fungsi kita nyatakan dengan $f(x)$ maka nilai fungsi tersebut untuk $x=k$ adalah $f(k)$. Perhatikan contoh berikut:

Contoh:
Diketahui $f(x)=2x^2-3x+1$, tentukan nilai $f(x)$ untuk $x=2$.

Jawab:
yang perlu kita lakukan hanyalah mensubstitusi nilai $x=2$ ke fungsi $f(x)$

$\begin{align*}f(x)&=2x^2-3x+1\\f(2)&=2(2)^2-3(2)+1\\&=2(4)-3(2)+1\\&=8-6+1\\&=3\end{align*}$
dengan demikian nilai $f(2)=3$

4. Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial

Dalam menjumlahkan atau mengurangkan polinomial, yang kita jumlahkan atau kita kurangkan adalah suku-suku yang sejenis. Untuk polinomial satu variabel, yang dimaksud suku-suku sejenis adalah suku-suku dengan pangkat variabel sama. Misalnya, $2x^2$ dengan $7x^2$, $6x^5$ dengan $\frac{1}{2}x^5$ dan sebagainya. 

Contoh:
Diberikan polinomial-polinomial $P(x)=4x^4-3x^3+2x-1$ dan $Q(x)=x^3-2x^2+4$, tentukan:
a. $P(x)+Q(x)$
b. $P(x)-Q(x)$

Jawab:

a. $P(x)+Q(x)$
$\begin{align*}P(x)+Q(x)&=(4x^4-3x^3+2x-1)+(x^3-2x^2+4)\\&=(4x^4)+(-3x^3+x^3)+(-2x^2)+(2x)+(-1+4)\\&=4x^4-2x^3-2x^2+2x+3\end{align*}$

b. $P(x)-Q(x)$
$\begin{align*}P(x)+Q(x)&=(4x^4-3x^3+2x-1)-(x^3-2x^2+4)\\&=(4x^4)+(-3x^3-x^3)+(2x^2)+(2x)+(-1-4)\\&=4x^4-4x^3+2x^2+2x-5\end{align*}$

5. Perkalian Polinomial

Ketika kalian masih SMP, sebenarnya kalian telah mempelajari perkalian polinomial, perharikan contoh berikut ini:

6. Kesamaan Polinomial

Pada polinomial, terdapat istilah kesamaan dan persamaan. Bisakah kalian membedakannya? perhatikan contoh berikut:

1. $2x-5=13$
2. $(x-3)(x+3)=x^2-9$

Pada contoh di atas, bentuk pertama yaitu $2x-5=13$ hanya benar untuk $x$ tertentu saja, kita sebut sebagai persamaan. Sedangkan bentuk kedua, yaitu $(x-3)(x+3)=x^2-9$ selalu benar untuk $x\in\mathbb{R}$, kita sebut sebagai kesamaan.

Kesamaan antara dua polinomial $f(x)$ dan $g(x)$ jika dan hanya jika setiap suku dengan pangkat sama memiliki koefisien yang sama.

Contoh:

$px^2+qx+r\equiv3x^2+2x+5$, jika dan hanya jika koefisien-koefisiennya $p=3, q=2, r=5$

7. Pembagian Polinomial
Perhatikan uraian berikut mengenai pembagaian yang pernah kita pelajari ketika SD:

Jika kita membagi $13$ dengan $5$ maka akan bersisa $3$, atau dapat di tulis:
$$13=5\times  2+3$$
dengan:
$13=$ yang di bagi
$5=$ pembagi
$2=$ hasil bagi
$3=$ sisa

dengan kata lain:
$$\boxed{\text{yang dibagi}=\text{pembagi}\times\text{hasil bagi}+\text{sisa}}$$

Algoritma yang sama berlaku juga pada polinomial, maka:
$$F(x)=P(x)\times H(x)+S(x)$$
dengan:
$F(x)=$ Polinomial yang dibagi
$P(x)=$ Pembagi
$H(x)=$ Hasil bagi
$S(x)=$ Sisa

Sementara, tulisan ini saya sudahi dulu sampai disini. Materi ini belum selesai, tunggu Polinomian bagian 2.