Distribusi Binomial - Rumus, Contoh Soal dan Pembahasan

Dalam kehidupan sehari-hari kita seringkali berhadapan dengan kondisi yang memiliki dua kemungkinan, misalnya seorang ibu melahirkan bayi yang terlahir bisa laki-laki atau perempuan, saat kita melempar sebuah dadu bilangan yang muncul bisa ganjil atau genap, saat kita melempar sebuah koin, yang muncul bisa gambar atau angka, ketika siswa ujian hasilnya bisa lulus atau tidak lulus. Dalam studi peluang, berbagai kondisi yang memiliki dua kemungkinan disebut sebagai percobaan binomial atau eksperimen binomial.

Binomial terdiri dari dua suku kata  yaitu bi yang artinya dua dan nomial yang dapat diartikan sebagai kondisi. Dengan demikian, binomial merupakan kondisi yang memiliki dua kemungkinan, yaitu "berhasil" atau "gagal".

Misalnya, ketika kita melempar sebuah koin sebanyak 10 kali dan kita ingin menghitung peluang dari 10 kali pelemparan tersebut sebanyak 5 kali pelemparan kita memperoleh gambar. Kejadian tersebut merupakan salah satu contoh kejadian yang memerlukan formula peluang binomial yang akan kita pelajari pada tulisan ini. Pada kondisi tersebut, kondisi dimana koin menunjukan gambar bisa kita anggal sebagai konisi "berhasil" maka saat koin menunjukan angka bisa kita anggal sebagai kondisi "gagal".

Rumus Peluang (Distribusi) Binomial

untuk percobaan binomial, dimana peluang sukses adalah $p$ dan peluang gagal adalah $q$ untuk setiap percobaan dimana $q=1-p$, maka probabilitas sukses sebanyak $x$ dari $n$ percobaan adalah: $$P(x,n)=C(n,x)\times p^{x}\times q^{n-x}$$

Keterangan:
$C(n,x)=\frac{n!}{(n-x)!.x!}$ 

untuk lebih memahaminya perhatikan beberapa contoh soal beserta pembahasan berikut ini:

Contoh 1 (UN 2015 Program IPA)

Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang $\frac{3}{5}$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti tersebut adalah ....

A. $\frac{180}{625}$

B. $\frac{612}{625}$

C. $\frac{216}{625}$

D. $\frac{228}{625}$

E. $\frac{230}{625}$

Pembahasan:

Pada kejadian di atas kondisi "sukses" adalah keadaan dimana penjaga gawang mampu menahan tendangan, peluang sukses $p=\frac{3}{5}$, maka peluang "gagal" adalah $q=1-p=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$.

Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan $(x=3)$ dari 5 kali tendangan $(n=5)$ adalah:

$\begin{align*}P(x=3, n=5)&=C(5,3)\times \left(\frac{3}{5}\right)^{3}\times \left(\frac{2}{5}\right)^{5-3}\\&=\frac{5!}{2!.3!}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{3}\times\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\\&=10\times\left(\frac{27}{125}\right)\times\left(\frac{4}{25}\right)\\&=\frac{216}{625}\end{align*}$

Contoh 2 (SIMAK UI)

Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka 7 dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah ....

A. $\frac{5}{246}$

B. $\frac{5}{36}$

C. $\frac{25}{46}$

D. $\frac{25}{72}$

E. $\frac{135}{432}$

Pembahasan:

kemungkinan jumlah mata dadu 7:

$\left\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\right\}$ ada 6 kemungkinan

banyak semua kemungkinan adalah $6\times 6=36$

dengan demikian peluang sukses (jumlah mata dadu 7) adalah $p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

peluang gagal (jumlah mata dadu bukan 7) adalah $q=1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

Peluang mendapatkan satu kali $(x=1)$ dadu jumah 7 dari 3 kali $(n=3)$ pelemparan adalah:

$\begin{align*}P(x=1,n=3)&=C(3,1)\times\left(\frac{1}{6}\right)^{1}\times\left(\frac{5}{6} \right)^{3-1}\\&=\frac{3!}{2!.1!}\times\left(\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\\&=3\times\left(\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{25}{36}\right)\\&=\frac{25}{72}\end{align*}$

Contoh 3

Probabilitas seorang bayi tidak diimunisasi rubela adalah $0,2$. Pada suatu hari di puskesmas Cempaka ada 4 orang bayi, peluang dari bayi tersebut 3 orang belum diimunisasi rubela adalah ....
A. $0,0128$
B. $0,0256$
C. $0,0512$
D. $0,1240$
E. $0,2480$

Pembahasan:

peluang tidak diimunisasi adalah $p=0,2$
peluang diimunisasi adalah $q=1-p=1-0,2=0,8$

Peluang 3 dari 4 bayi belum diiunisasi adalah :

$\begin{align*}P(x=3, n=4)&=C(4,3)\times (0,2)^{3}\times (0,8)^{4-3}\\&=\frac{4!}{1!.3!}\times(0,008)\times (0,8)\\&=0,0256\end{align*}$

Contoh 4

Sebuah koin dilempar 5 kali. Peluang mendapatkan sisi gambar tepat 3 kali adalah ....
A. $\frac{6}{54}$
B. $\frac{10}{32}$
C. $\frac{8}{36}$
D. $\frac{5}{18}$
E. $\frac{3}{18}$

Pembahasan:
Peluang mendapat gambar pada setiap pelemparan adalah $p=\frac{1}{2}$
Peluang mendapatkan angka pada setiap pelemparan adalah $q=1-p=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Peluang tepat 3 kali dapat gambar dari 5 kali pelemparan adalah:

$\begin{align*}P(x=3,n=5)&=C(5,3)\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\&=\frac{5!}{2!.3!}\times\left(\frac{1}{8}\right)\times\left(\frac{1}{4}\right)\\&=10\times\frac{1}{8}\times\frac{1}{4}\\&=\frac{10}{32}\end{align*}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan materi distribusi binomial. semoga bermanfaat