Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak | Konsep Dasar, Contoh Soal dan Pembahasan

m4th-lab.net - Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak - Konsep dasar, contoh soal dan pembahasan

Sebelumnya, m4th-lab telah menyajikan penjelasan konsep dasar nilai mutlak, persamaan nilai mutlak dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasan yang merupakan materi matematika wajib kurikulum 2013 revisi yang dipelajari di kelas 10 semester pertama (semester ganjil). Melanjutkan materi tersebut, kali ini kita akan belajar materi pertidaksamaan nilai mutlak.

Apa itu pertidaksamaan nilai mutlak?

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan pertidaksamaan yang variabelnya berada dalam tanda mutlak. Ada banyak cara yang dapat kita lakukan untuk menyelesaikan berbagai bentuk pertidaksamaan nilai mutlak diantaranya:

1. Menyelesaiakan pertidaksamaan nilai mutlak bentuk umum
2. Menyelesaiakan pertidaksamaan nilai mutlak dengan mengkuadratkan kedua ruas
3. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan grafik
4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan analisis $x$ (Definisi Nilai Mutlak)

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh soal dan berbagai cara menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak yang akan di bahas pada tulisan ini.

Catatan: Jika saat membuka laman ini terjadi "Math Processing Error" silakan reload laman. Sangat disarankan membuka laman ini melalui PC/Laptop untuk menghindari equation yang terpotong, atau jika menggunakan mobile/android silakan buka dengan mode landscape bukan portrait.

Bagaimana Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak?

1. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Bentuk Umum

untuk bentuk tertentu, pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaiakan secara umum sebagai berikut:

1. Bentuk $\left |f(x)\right| \lt p$ dapat diubah ke bentuk $-p\lt f(x)\lt p$
2. Bentuk $\left |f(x) \right|\gt p$ dapat diubah ke bentuk $f(x)\lt -p$ atau $f(x)\gt p$
3. Bentuk $\left | f(x) \right |\gt\left |g(x)\right|$ dapat diubah ke bentuk $\left(f\left(x\right) +g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\gt 0$
4. Bentuk $\left | f(x) \right |\lt\left |g(x)\right|$ dapat diubah ke bentuk $\left(f\left(x\right) +g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\lt 0$
5. Bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\lt k$ dapat diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\lt 0$
6. Bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ dapat diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$

Perhatikan beberpa contoh berikut:

Contoh 1:

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left |3x-1 \right|-2\lt 5$

Jawab:

$\begin{align*}|3x-1|-2&\lt 5\\|3x-1|&\lt 7\end{align*}$

Petidaksamaan di atas sesuai dengan bentuk $|f(x)|\lt p$ maka dapat kita ubah ke bentuk $-p\lt f(x)\lt p$. Dengan demikian pertidaksamaan $|3x-1|\lt 7$  dapat diubah menjdi:

$$-7\lt 3x-1\lt 7\\-7+1\lt 3x-1+1\lt  7+1\\-6\lt 3x \lt 8\\-2\lt x \lt \frac{8}{3} $$

---

Contoh 2:

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|3x-2|\gt 4$

Jawab 2 :

Bentuk pertidaksamaan di atas sesuai dengan bentuk $|f(x)|\gt p$ maka dapat diubah ke bentuk $f(x)\lt-p$ atau $f(x)\gt p$

$$|3x-2|\gt 4\\3x-2\lt -4 \space \text{atau}\space 3x-2\gt 4\\3x\lt -2 \space\text{atau}\space 3x\gt 6\\x\lt -\frac{2}{3}\space\text{atau}\space x\gt 2$$

---

Contoh 3:

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $|2-x|\geq |2x-1|$

Jawab:

$|2-x|\geq|2x-1|$ memenuhi bentuk $|f(x)|\geq|g(x)|$ maka bisa kita ubah menjadi $\left(f(x)+g(x)\right)\left(f(x)-g(x)\right)\geq 0$

$\begin{align*}\left(2-x+2x-1\right)\left(2-x-(2x-1)\right)&\geq 0\\ \left(x+1\right)\left(2-x-2x+1\right)&\geq 0\\(x+1)(-3x+3)&\geq 0 \space\text{kedua rusa kali  }(-1)\\(x+1)(3x-3)&\leq 0\\-1\leq x&\leq 1\end{align*}$

---

Contoh 4:

Tentukan nilai $x$  yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-3|\leq|x+4|$

Jawab:

Pertidaksamaan $|2x-3|\leq|x+4|$ memenuhi pertidaksamaan $|f(x)|\leq|g(x)|$, maka dapat kita ubah menjadi $(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))\leq 0$

$\begin{align*}|2x-3|&\leq|x+4|\\(2x-3+x+4)(2x-3-(x+4))&\leq 0\\(3x+1)(2x-3-x-4)&\leq 0\\(3x+1)(x-7)&\leq 0\\-\frac{1}{3}\leq x&\leq 7\end{align*}$

---

Contoh 5:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left|\frac{2x-1}{x+5}\right|\gt 3$

Jawab:

Pertidaksaman $\left|\frac{2x-1}{x+5}\right|\gt 3$ memenuhi bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ maka dapat diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$

$\begin{align*}\left(2x-1+3(x+5)\right)\left(2x-1-3(x+5)\right)&\gt 0\\ \left(2x-1+3x+15\right)\left(2x-1-3x-15\right)&\gt 0\\(5x+14)(-x-16)&\gt 0\space\text{kali dengan }(-1)\\(5x+14)(x+16)&\lt 0\\-16\lt x &\lt -\frac{14}{5}\end{align*}$

---

Contoh 6:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3+\frac{7}{x}\right|\gt 1$

Jawab:

$\begin{align*}\left|3+\frac{7}{x}\right|&\gt 1\\ \left|\frac{3x+7}{x}\right|&\gt 1\end{align*}$

Pertidaksamaan $\left| \frac{3x+7}{x}\right|\gt 1$ memenuhi bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ dapat diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$ 

$\begin{align*}\left|\frac{3x+7}{x}\right|&\gt 1\\(3x+7+x)(3x+7-x)&\gt 0\\(4x+7)(2x+7)&\gt 0\\x\lt -\frac{7}{2}\space\text{atau}\space x\gt -\frac{7}{4}\end{align*}$

---

2. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Dengan Mengkuadratkan Kedua Ruas

Menyelesaikan pertidaksamaan nillai mutlak dengan cara mengkuadratkan kedua ruas hanya boleh dilakuakan jika kedua ruas bernilai positif. Perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 7: (soal sama dengan contoh 2)

Penyelesaian dari pertidaksamaan $|3x-2|\gt 4$ adalah ....

Jawab:

Karena ruas kiri dan ruas kanan pertidaksamaan bernilai positif, maka dapat kita selesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|3x-2|\right)^2&\gt 4^2\\9x^2-12x+4&\gt 16\\9x^2-12x-12&\gt 0\space \text{bagi dengan 3}\\3x^2-4x-4&\gt 0\\(3x+2)(x-2)&\gt 0\\x\lt -\frac{2}{3}\space \text{atau}\space x&\gt 2\end{align*}$ 

---

Contoh 8: (soal sama dengan contoh 3)

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $|2-x|\geq |2x-1|$

Jawab:

Karena kedua ruas bernilai positif, maka dapat kita selesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|2-x|\right)^2&\geq\left(|2x-1|\right)^2\\4-4x+x^2&\geq 4x^2-4x+1\\-3x^2+3&\geq 0\space\text{kedua ruas bagi }(-3)\\x^2-1&\leq 0\\()(x+1)(x-1)&\leq 0\\-1\leq x&\leq 1\end{align*}$

---

3. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Grafik

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan metode grafik cara menggunakannya adalah dengan memisalkan pertidaksamaan ruas kiri dan ruas kanan sebagai fungsi yang berbeda. Misal ruas kiri sebagai $y_1$ dan ruas kanan sebagai $y_2$. Jika tanda pertidaksamaan $\gt$ atau $\geq$ maka jawabannya adalah himpunan $y_1$ yang terletak  di atas $y_2$. Begitu pula sebaliknya, jika tanda pertidaksamaan $\lt$ atau $\leq$ maka penyelesiannya $y_1$ yang terletak di bawah $y_2$.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 9:

Penyelesaian dari pertidaksamaan $|x-2|\gt $3 adalah ....

Jawab:

misal $y_1=|x-2|$ dan $y_2=3$

Selanjutnya, kita buat grafik kedua fungsi

warna biru merupakan grafik fungsi $y_1=|x-2|$ dan warna merah merupakan grafik fungsi $y_2=3$.
Kedua grafik fungsi berpotongan di $x=-1$ dan $x=5$, untuk pertidaksamaan $|x-2|\gt 3$, maka lihat pada grafik dimana  warna biru terletak di atas warna merah. Maka penyelesaiaannya adalah $x\lt -1$ atau $x\gt 5$

4. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Analisi Nilai $x$ (Sifat Nilai Mutlak)

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara melakukan analisis nilai $x$ dan kemudian memperhatikan definisi nilai mutlak merupakan cara yang paling "aman" dilakukan, selain itu cara ini juga berlaku untuk berbagai bentuk pertidaksamaan nilai mutlak.

Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan analisis nilai $x$ adalah sebagi berikut:

untuk bentuk tertentu, pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaiakan secara umum sebagai berikut:

1. Tentukan pembuat nol nilai mutlak kemudian jadikan nilai pembuat nol tersebut sebagi batas interval.
2. Tentukan bentuk sederhana setiap nilai mutlak pada interval nilai $x$ yang sudah ditentukan dan cari irisan penyelesaian nilai mutlak. Penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian pada interval tersebut
3. Penyelesaian pertidaksamaan adalah gabungan penyelesaian setiap interval

perhatikan beberpa contoh berikut:

Contoh 10: (SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 139)

Banyak bilangan bulat positif $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x-|2-x|}{x^2-3x-10}\leq 0$ adalah ....

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

Jawab:

Pembuat nol pertidaksamaan:

$2-x=0 \Leftrightarrow  x=2$

maka interval yang kita peroleh adalah $x\leq 2$ dan $x\geq 2$

Untuk $x\leq 2$

untuk $x\leq 2$ maka $|2-x|=2-x$, sehingga pertidaksamaan diperoleh:

$\begin{align*}\frac{x-(2-x)}{x^2-3x-10}&\leq 0 \\ \frac{2x-2}{(x-5)(x+2)}&\leq 0\end{align*}$

Titik kritis: $x=-2$, $x=1$, $x=5$

nilai $x$ yang memenuhi pada interval $x\leq 2$ adalah $x\lt -2$ atau $1\leq x\leq 2$, maka bilangan bulat yang memenuhi penyelesaian tersebut adalah 1 dan 2

Untuk $x\geq 2$

Untuk $x\geq 2$ maka $|2-x|=-(2-x)=x-2$ sehingga pertidaksamaan diperoleh:

$\begin{align*}\frac{x-(x-2)}{x^2-3x-10}&\leq 0\\ \frac{2}{(x-5)(x+2)}&\leq 0\end{align*}$

Titik kritis: $x=-2$ dan $x=5$

nilai $x$ yang memenuhi pada interval $x\geq 2$ adalah $2\leq x \lt 5$, maka bilangan bulat yang memenuhi penyelesaian tersebut adalah 2, 3, 4

Dengan demikian, nilai bulat yang memenuhi interval $x\leq 2$ dan $x\geq 2$ adalah 1, 2, 3, 4 ada sebanyak 4 buah bilangan bulat, maka jawaban yang tepat adalah C

Demikianlah beberapa cara menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak. Semoga dapat membantu