Konsep, Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika, selain Induksi Matematika ada beberapa metode lain yang biasa digunakan dalam pembuktian kebenaran suatu pernyataan seperti pembuktian langsung, pembuktian tak lanngsung, trivial, dan sebagainya. Namun dalam tulisan ini kita hanya akan membahas metode pembuktian dengan induksi matematika, dimana materi ini sudah di pelajari sejak SMA (untuk kurikulum 2013, induksi matematika dipelajari di kelas XI matematika wajib)

Sebelumnya, saya pernah membuat tulisan mengenai konsep dasar mengenai induksi matematika sederhana, induksi matematika umum, dan induksi matematika kuat  .  

Maksud dari induksi matematika adalah membuktikan sesuatu yang umum, diturunkan dari beberapa hal yang khusus, dan cara ini berlaku untuk semua $n$ bilangan asli.

Untuk membuktikan bahwa suatu rumus berlaku untuk semua bilangan asli, cara pembuktiannya diperlukan 2 tahapan, yaitu:

1. Tunjukkan benar untuk $n=1$
2. Tunjukkan benar untuk $n=k$ dan benar juga untuk $n=k+1$

Jika kedua syarat tersebut terpenuhi, maka rumus tersebut benar untuk setian $n\in N$.

Berikut ini saya sajikan beberapa contoh pembuktian dengan induksi matematika meliputi pembuktian deret bilangan dan pembuktian pertidaksamaan

Pembuktian Deret Bilangan dengan Induksi Matematika

Untuk contoh soal no 1 sampai no 3 saya bahas dengan menggunakan notasi sigma, jadi sebaiknya pelajari dulu konsep dan sifat-sifat notasi sigma disini

---

Contoh 1 

Buktikan bahwa jumlah $n$ suku pertama bilangan ganjil adalah $n^2$

 Pembahasan:

Pernyataan pada soal di atas dapat ditulis:

$\begin{align*}1+3+5+\cdots+(2n-1)&=n^2\\\sum_{i=1}^{n}\left(2i-1\right )&=n^2\end{align*}$ 

Langkah 1

Untuk $n=1$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=1=1^2$ (Benar)

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas berlaku untuk $n=k$, maka:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(2i-1)=k^2$   (Hipotesis)

Berdasarkan hipotesis diatas, akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut benar juga untuk $n=k+1$, maka haruslah $\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (2i-1)=(k+1)^2$

kita akan bekerja di ruas kiri

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)&=\sum_{i=1}^{k}(2i-1)+\sum_{i=k+1}^{k+1}(2i-1)\\&=k^2+\left\{ 2(k+1)-1\right \}\\&=k^2+2k+1\\&=(k+1)^2\end{align*}$

Karena pernyataan di atas benar untuk $n=1$ dan $n=k+1$, maka $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$ adalah benar.

---

 Contoh 2:
Buktikan bahwa:
$1^2+2^2+3^2+\cdots+n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

 Pembahasan:
Pernyataan pada soal di atas dapat ditulis:
$$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
Langkah 1
Untuk $n=1$, 
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{1}i^2&=\frac{1}{6}(1)(1+1)(2+1)\\1&=1\space\text{         (Benar)}\end{align*}$

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$  (Hipotesis)

Untuk $n=k+1$ maka haruslah
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1} i^2&=\frac{1}{6}(k+1)\left\{ (k+1)+1\right \} \left\{ 2(k+1)+1\right \} \\&=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\end{align*}$

Bukti:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i^2&=\sum_{i=1}^{k}i^2+\sum_{i=k+1}^{k+1}i^2\\&=\left(\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)\right)+(k+1)^2\\&=\frac{1}{6}(k+1)\left\{k(2k+1)+6(k+1)\right\}\\&=\frac{1}{6}(k+1)(2k^2+k+6k+6)\\&=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\end{align*}$

---

 Contoh 3:
Buktikan $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n}{2}(n+1)$

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka 
$\frac{n}{2}(n+1)=\frac{1}{2}(1+1)=1$   (Benar)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, yaitu:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i=\frac{k}{2}(k+1)$  (Hipotesis)

Untuk $n=k+1$ jumlahnya haruslah:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i&=\frac{k+1}{2}\left\{(k+1)+1 \right\}\\&=\left(\frac{k+1}{2}\right)(k+2)\end{align*}$

Bukti:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i&=\sum_{i=1}^{k}i+\sum_{i=k+1}^{k+1}i\\&=\frac{k}{2}(k+1)+(k+1)\\&=\left(\frac{k}{2}+1\right)(k+1)\end{align*}$

---

Contoh 4:
Buktikan bahwa $\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{1}{4}n^2\left(n+1\right)^2$

Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka
$\begin{align*}1^3&=\frac{1}{4}(1^2)(1+1)^2\\1&=\frac{1}{4}(1)(4)\\1&=1\space\text{      (Benar)}\end{align*}$

Langkah 2
Misalkan benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2$

akan dibuktikan untuk $n=k+1$

$\begin{align*}1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3&=\frac{1}{4}(k+1)^2((k+1)+1)^2\\ \frac{1}{4}k^2(k+1)^2+(k+1)^3&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2\\\frac{1}{4}(k+1)^2(k^2+4k+4)&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2\\\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2 \end{align*}$

Tips : Jika ada karakter/persamaan matematika pada tulisan ini yang tidak tampil sempurna atau terpotong karena anda membuka laman ini melelui mobile (android), masalah karena resolusi yang tidak memadai, sebaiknya kunjungi laman ini menggunakan PC/laptop. Jika menggunakan handphone sebaiknya dalam posisi landscape

---

Contoh 5
Buktikan bahwa $\displaystyle (1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(n.n!)=(n+1)!-1$

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka
$\begin{align*}1.1!&=(1+1)!-1\\1.1&=2!-1\\1&=2-1\\1&=1\space\space\space\text{(Benar)}\end{align*}$

Langkah 2
Misal benar untuk $n=k$, yaitu:

$\displaystyle (1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(k.k!)=(k+1)!-1$

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}(1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(k.k!)+\left((k+1)(k+1)!\right)&=\left((k+1)+1\right)!-1\\(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!&=(k+2)!-1\\(k+1)!(1+k+1)-1&=(k+2)!-1\\(k+1)!(k+2)-1&=(k+2)!-1\\(k+2)!-1&=(k+2)!-1\end{align*}$




Pembuktian Keterbagian dengan Induksi Matematika

---

Contoh 6
Buktikan untuk $n\in$ bilangan asli $4^n-1$ habis dibagi 3

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka:
$4^1-1=3$  (habis dibagi 3)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, maka $4^k-1$ habis dibagi 3 (hipotesis)

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}4^{k+1}-1&=4.4^k-1\\&=3.4^k+4^k-1\\&=3.4^k+\left(4^k-1\right)\end{align*}$

Jelas $3.4^k$ merupakan kelipatan 3 dan berdasarkan hipotesis $4^k-1$ merupakan kelipatan 3, maka terbukti bahwa $4^n-1$ habis dibagi 3 untuk $n\in$ bilangan asli

---

 Contoh 7
Buktikan $\displaystyle a^{2n}-b^{2n}$ habis dibagi oleh $(a+b)$

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Karena $(a-b)(a+b)$ habis dibagi $(a+b)$, maka pernyataan tersebut benar untuk $n=1$

Langkah 2
Misalkan pernyataan tersebut benar untuk $n=k$, yaitu $a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi $(a+b)$.

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}a^{2(k+1)-b^{2(k+1)}}&=a^{2k+2}-b^{2k+2}\\&=a^2(a^{2k}-b^{2k})+b^{2k}(a^2-b^2)\end{align*}$

Karena $a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi $(a+b)$ dan $a^2-b^2$ juga habis dibagi $(a+b)$, maka $a^{2n}-b^{2n}$ habis dibagi oleh $(a+b)$

Baca: Download Bank soal induksi matematika format pdf

---

Contoh 8
Buktikan $4^{n+1}-4$ habis dibagi 12

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$
$4^{1+1}-4=4^2-4=16-4=12$     (habis dibagi 12)

Langkah 2
Misal pernyataan tersebut benar untuk $n=k$, yaitu:
$4^{k+1}-4$ habis dibagi 12

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}4^{(k+1)+1}-4&=4^{k+2}-4\\&=16.4^k-4\\&=12.4^k+4.4^k-4\\&=12.4^k+(4^{k+1}-4)\end{align*}$

Karea $12.4^k$  dan $4^{k+1}-4$ habis dibagi 12, maka $4^{n+1}-4$ habis dibagi 12

---

 Contoh 9:
Buktikan bahwa $P(n)=n(n+1)(n+5)$  habis dibagi 3

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka 
$P(1)=1(1+1)(1+5)=12$    (habis dibagi 3)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$,  atau dengan kata lain $P(k)$ merupakan kelipatan 3,

$P(k)=k(k+1)(k+5)=k^3+6k^2+5k$ 

Akan dibuktikan bahwa $P(k+1)$ merupakan kelipatan 3:

$\begin{align*}P(k+1)&=(k+1)\left((k+1)+1\right)\left((k+1)+5\right)\\&=(k+1)(k+2)(k+6)\\&=k^3+9k^2+10k+12\\&=(k^3+6k^2+5k)+(3k^2+15k+12)\\&=(k^3+6k^2+5k)+3(k^2+5k+4)\end{align*}$

Berdasarkan hipotesis, $k^3+6k^2+5k$ merupakan kelipatan 3 dan $3(k^2+5k+4)$ jelas merupakan kelipatan 3, maka dapat disimpulkan bahwa $P(n)$ habis dibagi 3 untuk $n\in N$

Pembuktian Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

---

 Contoh 10:
Buktikan bahwa
$$n^2 \geq 2n+7$$
untuk setiap bilangan asli $n\geq 4$

 Pembahasan:

Kita gunakan induksi matematika umum, dengan:
$P(n)\equiv n^2 \geq 2n+7$
Kita akan membuktikan bahwa $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n$ dengan $n\geq 4$.

Langkah 1 (Langkah dasar):
kita akan membuktikan kebenaran $P(4)$
$P(4)\equiv 4^2\geq 2(4)+7\Leftrightarrow 16\geq 15$ (Benar)

Langkah 2 (Langkah Induksi):
kita misalkan $P(k)$ benar untuk $k \geq 4$
$P(k)\equiv k^2 \geq 2k+7$ untuk $k \geq 4$ (hipotesis)

dari hipotesis kita peroleh:
$k^2 \geq 2k+7$             jika kedua ruas kita tambah $2k+1$, maka:
$k^2+2k+1 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(k+3)$ karena $k \geq 4$ maka $k+3 \geq 7$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(7)$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$

Dengan menggunakan hal di atas, kita akan membuktikan $P(k+1)$, yaitu:
$$P(k+1) \equiv (k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$$
karena $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$ pada hipotesis kita misalkan benar, maka $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$ benar (karena 14 > 7)
Dengan demikian pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli  $n\geq 4$

---

Demikianlah beberapa soal dan pembahasan terkait materi induksi matermatika yang dipelajari di kelas XI Matematika wajib. Semoga bermanfaat

Jika menginginkan file pdf untuk tulisan ini, silakan download melalui link berikut:

Download format pdf artikel ini 

• DOWNLOD TULISAN INI