Processing math: 100%
Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Konsep, Soal dan Pembahasan Induksi Matematika


Induksi Matematika merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika, selain Induksi Matematika ada beberapa metode lain yang biasa digunakan dalam pembuktian kebenaran suatu pernyataan seperti pembuktian langsung, pembuktian tak lanngsung, trivial, dan sebagainya. Namun dalam tulisan ini kita hanya akan membahas metode pembuktian dengan induksi matematika, dimana materi ini sudah di pelajari sejak SMA (untuk kurikulum 2013, induksi matematika dipelajari di kelas XI matematika wajib)

Sebelumnya, saya pernah membuat tulisan mengenai konsep dasar mengenai induksi matematika sederhana, induksi matematika umum, dan induksi matematika kuat  .  

Maksud dari induksi matematika adalah membuktikan sesuatu yang umum, diturunkan dari beberapa hal yang khusus, dan cara ini berlaku untuk semua n bilangan asli.

Untuk membuktikan bahwa suatu rumus berlaku untuk semua bilangan asli, cara pembuktiannya diperlukan 2 tahapan, yaitu:
  1. Tunjukkan benar untuk n=1
  2. Tunjukkan benar untuk n=k dan benar juga untuk n=k+1
Jika kedua syarat tersebut terpenuhi, maka rumus tersebut benar untuk setian nN.

Berikut ini saya sajikan beberapa contoh pembuktian dengan induksi matematika meliputi pembuktian deret bilangan dan pembuktian pertidaksamaan




Pembuktian Deret Bilangan dengan Induksi Matematika

Untuk contoh soal no 1 sampai no 3 saya bahas dengan menggunakan notasi sigma, jadi sebaiknya pelajari dulu konsep dan sifat-sifat notasi sigma disini

Contoh 1 
Buktikan bahwa jumlah n suku pertama bilangan ganjil adalah n2

 Pembahasan:
Pernyataan pada soal di atas dapat ditulis:
1+3+5++(2n1)=n2ni=1(2i1)=n2 

Langkah 1
Untuk n=1, ni=1(2i1)=1=12 (Benar)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas berlaku untuk n=k, maka:
ki=1(2i1)=k2   (Hipotesis)

Berdasarkan hipotesis diatas, akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut benar juga untuk n=k+1, maka haruslah k+1i=1(2i1)=(k+1)2

kita akan bekerja di ruas kiri
k+1i=1(2i1)=ki=1(2i1)+k+1i=k+1(2i1)=k2+{2(k+1)1}=k2+2k+1=(k+1)2

Karena pernyataan di atas benar untuk n=1 dan n=k+1, maka ni=1(2i1)=n2 adalah benar.


 Contoh 2:

Buktikan bahwa:
12+22+32++n=16n(n+1)(2n+1)

 Pembahasan:

Pernyataan pada soal di atas dapat ditulis:
ni=1i2=16n(n+1)(2n+1)

Langkah 1
Untuk n=1
1i=1i2=16(1)(1+1)(2+1)1=1  (Benar)

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas benar untuk n=k, yaitu:
ki=1i2=16k(k+1)(2k+1)  (Hipotesis)

Untuk n=k+1 maka haruslah

k+1i=1i2=16(k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1}=16(k+1)(k+2)(2k+3)

Bukti:

k+1i=1i2=ki=1i2+k+1i=k+1i2=(16k(k+1)(2k+1))+(k+1)2=16(k+1){k(2k+1)+6(k+1)}=16(k+1)(2k2+k+6k+6)=16(k+1)(k+2)(2k+3)

 Contoh 3:
Buktikan ni=1i=n2(n+1)

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk n=1, maka 
n2(n+1)=12(1+1)=1   (Benar)

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas benar untuk n=k, yaitu:
ki=1i=k2(k+1)  (Hipotesis)

Untuk n=k+1 jumlahnya haruslah:
k+1i=1i=k+12{(k+1)+1}=(k+12)(k+2)

Bukti:
k+1i=1i=ki=1i+k+1i=k+1i=k2(k+1)+(k+1)=(k2+1)(k+1)

Contoh 4:
Buktikan bahwa 13+23+33++n3=14n2(n+1)2

Pembahasan:


Langkah 1

Untuk n=1, maka
13=14(12)(1+1)21=14(1)(4)1=1  (Benar)

Langkah 2

Misalkan benar untuk n=k, yaitu:
13+23+33++k3=14k2(k+1)2

akan dibuktikan untuk n=k+1

13+23+33++k3+(k+1)3=14(k+1)2((k+1)+1)214k2(k+1)2+(k+1)3=14(k+1)2(k+2)214(k+1)2(k2+4k+4)=14(k+1)2(k+2)214(k+1)2(k+2)2=14(k+1)2(k+2)2

Tips : Jika ada karakter/persamaan matematika pada tulisan ini yang tidak tampil sempurna atau terpotong karena anda membuka laman ini melelui mobile (android), masalah karena resolusi yang tidak memadai, sebaiknya kunjungi laman ini menggunakan PC/laptop. Jika menggunakan handphone sebaiknya dalam posisi landscape

Contoh 5
Buktikan bahwa (1.1!)+(2.2!)+(3.3!)++(n.n!)=(n+1)!1

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk n=1, maka
1.1!=(1+1)!11.1=2!11=211=1   (Benar)

Langkah 2

Misal benar untuk n=k, yaitu:

(1.1!)+(2.2!)+(3.3!)++(k.k!)=(k+1)!1


Akan dibuktikan untuk n=k+1

(1.1!)+(2.2!)+(3.3!)++(k.k!)+((k+1)(k+1)!)=((k+1)+1)!1(k+1)!1+(k+1)(k+1)!=(k+2)!1(k+1)!(1+k+1)1=(k+2)!1(k+1)!(k+2)1=(k+2)!1(k+2)!1=(k+2)!1




Pembuktian Keterbagian dengan Induksi Matematika


Contoh 6
Buktikan untuk n bilangan asli 4n1 habis dibagi 3

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk n=1, maka:
411=3  (habis dibagi 3)

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas benar untuk n=k, maka 4k1 habis dibagi 3 (hipotesis)

Akan dibuktikan untuk n=k+1

4k+11=4.4k1=3.4k+4k1=3.4k+(4k1)

Jelas 3.4k merupakan kelipatan 3 dan berdasarkan hipotesis 4k1 merupakan kelipatan 3, maka terbukti bahwa 4n1 habis dibagi 3 untuk n bilangan asli


 Contoh 7
Buktikan a2nb2n habis dibagi oleh (a+b)

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk n=1, maka a2b2=(ab)(a+b).
Karena (ab)(a+b) habis dibagi (a+b), maka pernyataan tersebut benar untuk n=1

Langkah 2

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n=k, yaitu a2kb2k habis dibagi (a+b).

Akan dibuktikan untuk n=k+1

a2(k+1)b2(k+1)=a2k+2b2k+2=a2(a2kb2k)+b2k(a2b2)

Karena a2kb2k habis dibagi (a+b) dan a2b2 juga habis dibagi (a+b), maka a2nb2n habis dibagi oleh (a+b)



Baca: Download Bank soal induksi matematika format pdf

Contoh 8
Buktikan 4n+14 habis dibagi 12

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk n=1
41+14=424=164=12     (habis dibagi 12)

Langkah 2

Misal pernyataan tersebut benar untuk n=k, yaitu:
4k+14 habis dibagi 12

Akan dibuktikan untuk n=k+1

4(k+1)+14=4k+24=16.4k4=12.4k+4.4k4=12.4k+(4k+14)

Karea 12.4k  dan 4k+14 habis dibagi 12, maka 4n+14 habis dibagi 12


 Contoh 9:
Buktikan bahwa P(n)=n(n+1)(n+5)  habis dibagi 3

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk n=1, maka 
P(1)=1(1+1)(1+5)=12    (habis dibagi 3)

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas benar untuk n=k,  atau dengan kata lain P(k) merupakan kelipatan 3,
P(k)=k(k+1)(k+5)=k3+6k2+5k 

Akan dibuktikan bahwa P(k+1) merupakan kelipatan 3:
P(k+1)=(k+1)((k+1)+1)((k+1)+5)=(k+1)(k+2)(k+6)=k3+9k2+10k+12=(k3+6k2+5k)+(3k2+15k+12)=(k3+6k2+5k)+3(k2+5k+4)

Berdasarkan hipotesis, k3+6k2+5k merupakan kelipatan 3 dan 3(k2+5k+4) jelas merupakan kelipatan 3, maka dapat disimpulkan bahwa P(n) habis dibagi 3 untuk nN




Pembuktian Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

 Contoh 10:
Buktikan bahwa
n22n+7

untuk setiap bilangan asli n4


 Pembahasan:
Kita gunakan induksi matematika umum, dengan:
P(n)n22n+7
Kita akan membuktikan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n dengan n4.

Langkah 1 (Langkah dasar):
kita akan membuktikan kebenaran P(4)
P(4)422(4)+71615 (Benar)

Langkah 2 (Langkah Induksi):
kita misalkan P(k) benar untuk k4
P(k)k22k+7 untuk k4 (hipotesis)

dari hipotesis kita peroleh:
k22k+7             jika kedua ruas kita tambah 2k+1, maka:
k2+2k+14k+8
(k+1)24k+8
(k+1)22(k+1)+2(k+3) karena k4 maka k+37
(k+1)22(k+1)+2(7)
(k+1)22(k+1)+14

Dengan menggunakan hal di atas, kita akan membuktikan P(k+1), yaitu:
P(k+1)(k+1)22(k+1)+7

karena (k+1)22(k+1)+14 pada hipotesis kita misalkan benar, maka (k+1)22(k+1)+7 benar (karena 14 > 7)
Dengan demikian pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli  n4

Demikianlah beberapa soal dan pembahasan terkait materi induksi matermatika yang dipelajari di kelas XI Matematika wajib. Semoga bermanfaat

Jika menginginkan file pdf untuk tulisan ini, silakan download melalui link berikut:


Download format pdf artikel ini 

1 komentar untuk "Konsep, Soal dan Pembahasan Induksi Matematika "