Limit Fungsi Trigonometri - Matematika Peminatan Kelas XII

Pada Kesempatan ini m4th-lab akan membahas materi limit fungsi trigonometri, meliputi konsep, contoh soal dan pembahasan. Pada kurikulum 2013 revisi 2016, materi ini dipelajari di kelas XII matematika peminatan semester ganjil.

Pada matematika wajib kelas XI, adik-adik telah mempelajari Limit Fungsi Aljabar, termasuk definisi limit itu sendiri. Suatu fungsi $f(x)$ memiliki limit untuk $x$ mendekati $(x\to a)$ jika nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kiri dan nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kanan mendekati nilai yang sama, misalnya $L$. Dapat ditulis:

$$\lim_{x\to a}{f(x)}=L$$

Definisi limit fungsi trigonometri tidak jauh berbeda dengan limit fungsi aljabar di atas. Misal $f(x)$ merupakan fungsi trigonometri. Limit fungsi $f(x)$ mendekati sudut tertentu $a$ adalah nilai fungsi $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kiri dan dari kanan. 

Lihat juga : Menyelesaiakan limit trigonometri dengan deret Maclaurin

Banyak cara yang dapat kita lakukan untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Pertama, jika bentuk limit terdefinisi dengan mensubstitusi secara langsung (tidak diperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$), maka limit tersebut dapat diselesaikan cukup dengan mensubstitusi. Namun, jika kita substitusi dan ternyata diperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, maka diperlukan langkah tertentu untuk menyelesaikan limit tersebut yang akan dibahas pada tulisan ini.

Sebelum kita lanjut membahas limit fungsi trigonometri, sebaiknya kalian ingat kembali teorema limit yang meliputi Sifat-sifat Limit sebagai berikut:

1. $\displaystyle\lim_{x\to a} {c}=c $, dengan $c$ adalah konstanta
2. $\displaystyle\lim_{x\to a}{x^{n}}=a^n$
3. $\displaystyle\lim_{x\to a}{c.f(x)}=c.\lim_{x\to a}{f(x)}$
4. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\left[f(x)\pm g(x)\right]}=\lim_{x\to a}{f(x)}\pm \lim_{x\to a}{g(x)}$
5. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\left[f(x). g(x)\right]}=\lim_{x\to a}{f(x)}. \lim_{x\to a}{g(x)}$
6. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}$, dengan syarat $\lim_{x\to a}{g(x)}\ne 0$
7. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\left[f(x)\right]^n}=\left[\lim_{x\to a}{f(x)}\right]^n$

Berikut ini akan kita pelajari berbagai cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri

1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri dengan Substitusi

Menentukan nilai limit dengan substitusi secara langsung hanya sah jika hasil yang diperoleh terdefinisi (bukan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$).

Contoh 1.1:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_{x\to \pi}{\cos(x+\sin x)}$

Pembahasan:

Limit tersebut dapat diselesaikan dengan mensubstitusi langsung

$\begin{align*}\lim_{x\to \pi}{\cos(x+\sin x)}&=\cos(\pi +\sin{\pi})\\&=\cos(\pi+0)\\&=\cos{\pi}\\&=-1\end{align*}$

Contoh 1.2:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}}$

Pembahasan:

Limit tersebut dapat diselesaikan dengan mensubstitusi langsung

$\begin{align*}\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}}&=\frac{\cos{0}}{\sin{0}+\cos{0}}\\&=\frac{1}{0+1}\\&=\frac{1}{1}\\&=1\end{align*}$

Contoh 1.3:
Tentukan limit fungsi berikut:
$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{1-\sin^2{x}}{\cos{x}-\sin{x}}}$

Pembahasan:
Limit tersebut dapat diselesaikan dengan mensubstitusi langsung
$\begin{align*}\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{1-\sin^2{x}}{\cos{x}-\sin{x}}}&=\frac{1-\sin^2{\frac{\pi}{4}}}{\cos{\frac{\pi}{4}}-\sin{\frac{\pi}{4}}}\\&=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)^2}{\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\&=\frac{1-\frac{1}{2}}{0}\\&=\frac{\frac{1}{2}}{0}\\&=\infty\end{align*}$

2. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri dengan Penyederhanaan

Jika setelah kita coba mensubstitusi dan ternyata diperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, maka salah satu cara yang bisa kita gunakan adalah dengan penyederhanaan. Namun, sebelumnya saiknya kalian mengetahui beberapa rumus trigonometri yang sering digunakan untuk menyelesaikan limit trigonometri sebagai berikut:

Rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus

1. $\displaystyle\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{1}{2}(A+B)}\cos{\frac{1}{2}(A-B)}$
2. $\displaystyle\sin{A}-\sin{B}=2\cos{\frac{1}{2}(A+B)}\sin{\frac{1}{2}(A-B)}$
3. $\displaystyle\cos{A}+\cos{B}=2\cos{\frac{1}{2}(A+B)\cos{\frac{1}{2}(A-B)}}$
4. $\displaystyle\cos{A}-\cos{B}=-2\sin{\frac{1}{2}(A+B)\sin{\frac{1}{2}(A-B)}}$

Rumus Sudut Rangkap

1. $\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}$
2. $\cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}$
3. $\cos{2A}=(\cos{A}+\sin{A})(\cos{A}-\sin{A})$
4. $\cos{2A}=1-2\sin^2{A}$
5. $\cos{2A}=2\cos^2{A}-1$

Perhatikan beberapa contoh dan pembahasan limit trigonometri berikut dengan cara menyederhanakan bentuk trigonometri

Contoh 2.1:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{\cos{2x}}{\cos{x}-\sin{x}}}=$ ....

Pembahsan:

Jika kita substitusi $x=\frac{\pi}{4}$ akan kita peroleh bentuk $\frac{0}{0}$ (bentuk tak tentu), maka penyelesaian limit ini tidak cukup hanya dengan mensubstitusi.

Kita akan mengganti $\cos{2x}$ dengan $(\cos{x}+\sin{x})(\cos{x}-\sin{x})$ (perhatikan rumus sudut rangkap no 3 di atas), sehingga kita peroleh:

$\begin{align*}\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{\cos{2x}}{\cos{x}-\sin{x}}}&=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{(\cos{x}+\sin{x})(\cos{x}-\sin{x})}{\cos{x}-\sin{x}}}\\&=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\cos{x}+\sin{x}}\\&=\cos{\frac{\pi}{4}}+\sin{\frac{\pi}{4}}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\\&=\sqrt{2}\end{align*}$ 

Contoh 2.2:

Selesaikan limit berikut dengan menyederhanakan:
$\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}-\cos{3x}}{1-\cos{2x}}}=$ ....

Penyelesaian:
$\begin{align*}\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}-\cos{3x}}{1-\cos{2x}}}&=\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin{2x}\sin{x}}{1-(1-2\sin^2{x})}}\\&=\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin{2x}\sin{x}}{2\sin^2{2x}}}\\&=\frac{1}{2}\end{align*}$

3. Menentukan Limit dengan Rumus Limit Trigonometri

Seringkali kita akan menemukan soal limit fungsi trigonometri yang tidak cukup hanya dengan menyederhanakan, namun kita perlu menggunakan beberapa rumus dasar limit trigonometri sebagai berikut:

1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1$
2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{ax}}{ax}}=1$
3. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sin{x}}}=1$
4. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{ax}{\sin{ax}}}=1$
5. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\tan{x}}{x}}=1$
6. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\tan{ax}}{ax}}=1$
7. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\tan{x}}}=1$
8. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{ax}{\tan{x}}}=1$

 Contoh 3.1

$\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{3x}-\cos{5x}}{x^2}}=$

Pembahasan:

$\begin{align*}\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{3x}-\cos{5x}}{x^2}}&=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin{4x}\sin{x}}{x.x}\\&=\frac{2.4.1}{1.1}\\&=8\end{align*}$

Sebagai bahan latihan, silakan download soal limit fungsi trigonometri disini

Untuk lebih memahami limit fungsi trigonmetri, silakan pelajari video berikut

---