Processing math: 100%
Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Limit Fungsi Trigonometri - Matematika Peminatan Kelas XII



Pada Kesempatan ini m4th-lab akan membahas materi limit fungsi trigonometri, meliputi konsep, contoh soal dan pembahasan. Pada kurikulum 2013 revisi 2016, materi ini dipelajari di kelas XII matematika peminatan semester ganjil.

Pada matematika wajib kelas XI, adik-adik telah mempelajari Limit Fungsi Aljabar, termasuk definisi limit itu sendiri. Suatu fungsi f(x) memiliki limit untuk x mendekati (xa) jika nilai f(x) untuk x mendekati a dari kiri dan nilai f(x) untuk x mendekati a dari kanan mendekati nilai yang sama, misalnya L. Dapat ditulis:
limxaf(x)=L
Definisi limit fungsi trigonometri tidak jauh berbeda dengan limit fungsi aljabar di atas. Misal f(x) merupakan fungsi trigonometri. Limit fungsi f(x) mendekati sudut tertentu a adalah nilai fungsi f(x) untuk x mendekati a dari kiri dan dari kanan. 


Lihat juga : Menyelesaiakan limit trigonometri dengan deret Maclaurin

Banyak cara yang dapat kita lakukan untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Pertama, jika bentuk limit terdefinisi dengan mensubstitusi secara langsung (tidak diperoleh bentuk tak tentu 00), maka limit tersebut dapat diselesaikan cukup dengan mensubstitusi. Namun, jika kita substitusi dan ternyata diperoleh bentuk tak tentu 00, maka diperlukan langkah tertentu untuk menyelesaikan limit tersebut yang akan dibahas pada tulisan ini.


Sebelum kita lanjut membahas limit fungsi trigonometri, sebaiknya kalian ingat kembali teorema limit yang meliputi Sifat-sifat Limit sebagai berikut:
  1. limxac=c, dengan c adalah konstanta
  2. limxaxn=an
  3. limxac.f(x)=c.limxaf(x)
  4. limxa[f(x)±g(x)]=limxaf(x)±limxag(x)
  5. limxa[f(x).g(x)]=limxaf(x).limxag(x)
  6. limxaf(x)g(x)=limxaf(x)limxag(x), dengan syarat limxag(x)0
  7. limxa[f(x)]n=[limxaf(x)]n

Berikut ini akan kita pelajari berbagai cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri

1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri dengan Substitusi

Menentukan nilai limit dengan substitusi secara langsung hanya sah jika hasil yang diperoleh terdefinisi (bukan bentuk tak tentu 00).

Contoh 1.1:

Tentukan limit fungsi berikut:
limxπcos(x+sinx)

Pembahasan:
Limit tersebut dapat diselesaikan dengan mensubstitusi langsung
limxπcos(x+sinx)=cos(π+sinπ)=cos(π+0)=cosπ=1

Contoh 1.2:

Tentukan limit fungsi berikut:
limx0cosxsinx+cosx

Pembahasan:
Limit tersebut dapat diselesaikan dengan mensubstitusi langsung
limx0cosxsinx+cosx=cos0sin0+cos0=10+1=11=1

Contoh 1.3:

Tentukan limit fungsi berikut:
limxπ41sin2xcosxsinx

Pembahasan:

Limit tersebut dapat diselesaikan dengan mensubstitusi langsung
limxπ41sin2xcosxsinx=1sin2π4cosπ4sinπ4=1(122)2122122=1120=120=




2. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri dengan Penyederhanaan

Jika setelah kita coba mensubstitusi dan ternyata diperoleh bentuk tak tentu 00, maka salah satu cara yang bisa kita gunakan adalah dengan penyederhanaan. Namun, sebelumnya saiknya kalian mengetahui beberapa rumus trigonometri yang sering digunakan untuk menyelesaikan limit trigonometri sebagai berikut:

Rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus
  1. sinA+sinB=2sin12(A+B)cos12(AB)
  2. sinAsinB=2cos12(A+B)sin12(AB)
  3. cosA+cosB=2cos12(A+B)cos12(AB)
  4. cosAcosB=2sin12(A+B)sin12(AB)
Rumus Sudut Rangkap
  1. sin2A=2sinAcosA
  2. cos2A=cos2Asin2A
  3. cos2A=(cosA+sinA)(cosAsinA)
  4. cos2A=12sin2A
  5. cos2A=2cos2A1

Perhatikan beberapa contoh dan pembahasan limit trigonometri berikut dengan cara menyederhanakan bentuk trigonometri
Contoh 2.1:

Tentukan limit fungsi berikut:
limxπ4cos2xcosxsinx= ....

Pembahsan:
Jika kita substitusi x=π4 akan kita peroleh bentuk 00 (bentuk tak tentu), maka penyelesaian limit ini tidak cukup hanya dengan mensubstitusi.
Kita akan mengganti cos2x dengan (cosx+sinx)(cosxsinx) (perhatikan rumus sudut rangkap no 3 di atas), sehingga kita peroleh:

limxπ4cos2xcosxsinx=limxπ4(cosx+sinx)(cosxsinx)cosxsinx=limxπ4cosx+sinx=cosπ4+sinπ4=122+122=2 




Contoh 2.2:

Selesaikan limit berikut dengan menyederhanakan:
limx0cosxcos3x1cos2x= ....

Penyelesaian:
limx0cosxcos3x1cos2x=limx02sin2xsinx1(12sin2x)=limx02sin2xsinx2sin22x=12

3. Menentukan Limit dengan Rumus Limit Trigonometri

Seringkali kita akan menemukan soal limit fungsi trigonometri yang tidak cukup hanya dengan menyederhanakan, namun kita perlu menggunakan beberapa rumus dasar limit trigonometri sebagai berikut:
  1. limx0sinxx=1
  2. limx0sinaxax=1
  3. limx0xsinx=1
  4. limx0axsinax=1
  5. limx0tanxx=1
  6. limx0tanaxax=1
  7. limx0xtanx=1
  8. limx0axtanx=1

 Contoh 3.1

limx0cos3xcos5xx2=

Pembahasan:

limx0cos3xcos5xx2=limx02sin4xsinxx.x=2.4.11.1=8

Sebagai bahan latihan, silakan download soal limit fungsi trigonometri disini

Untuk lebih memahami limit fungsi trigonmetri, silakan pelajari video berikut



4 komentar untuk "Limit Fungsi Trigonometri - Matematika Peminatan Kelas XII"

  1. Mas ada soal un SMA selain Matematika gak? Kalau ada tolong diupload ya

    BalasHapus
  2. website bermanfaat begini harus terkena blog indihome,terpaksa wajib mwnggunakan vpn

    BalasHapus
  3. Assalamualaikum kak deni dan yang lainnya, kenalin nama aku sabiq. Disini aku hanya ingin ngucap terimakasih.

    Jazzakallah kak untuk penjelasan materinya, Alhamdulillah video video pembelajaran dan web mathlab bisa dimengerti dengan mudah tanpa harus muter muter kepala😄, semoga sukses terus kedepannya untuk mathlab.

    BalasHapus