Penurunan Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Cosinus jumlah dan selisih dua sudut sangat penting untuk kita pelajari terutama untuk menentukan nilai cosinus dari jumlah dua sudut istimewa atau selisih dua sudut istimewa, misalnya jika kita mau mencari nilai dari $\cos{75^\circ}$ atau $\cos{15^\circ}$ kita tidak perlu menggunkan alat bantu hitung (kalkulator), kita dapat menggunakan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Berikut inilah rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut:
$$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$

Penurunan Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Mungkin diantara anda ada yang penasaran darimana rumus tersebut diperoleh?. Jika anda adalah seorang pendidik (guru) akan lebih baik jika rumus tersebut tidak langsung diberikan begitu saja, namun arahkan peserta didik (siswa) anda untuk menemukan rumus tersebut (bisa berbantuan LKPD), dengan demikian peserta didik akan lebih memahami konsep dasarnya. Selain itu, konsep yang diperoleh dengan menemukan sendiri akan bertahan lebih lama pada ingatan peserta didik. Berikut ini kami sajikan salah satu cara menemukan (pembuktian) rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.

Perhatikan lingkaran satuan (berjari-jari 1 satuan) berikut:

Pusat lingkaran berada pada titik koordinat $O(0,0)$. Titik $A$ dan titik $B$ adalah dua titik yang terletak pada lingkaran, misal koordinat titik tersebut adalah $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2, y_2)$. Jarak titik $O$ ke $A$ dan jarak titik $O$ ke $B$ adalah $|OA|=|OB|=r=1$. Sudut yang terbentuk antara $OA$ dan sumbu $x$ adalah $\alpha$ dan sudut yang terbentuk antara $OB$ dan sumbu $x$ adalah $\beta$ serta $\angle{AOB}=\alpha-\beta$ maka kita peroleh:

$\cos{\alpha}=\frac{x_1}{r}=\frac{x_1}{1}=x_1$ dapat kita tulis $x_1=\cos{\alpha}$

$\sin{\alpha}=\frac{y_1}{r}={y_1}{1}=y_1$ dapat kita tulis $y_1=\sin{\alpha}$

$\cos{\beta}=\frac{x_2}{r}=\frac{x_2}{1}=x_2$ dapat kita tulis $x_2=\cos{\beta}$

$\sin{\beta}=\frac{y_2}{r}=\frac{y_2}{1}=y_2$ dapat kita tulsi $y_2=\sin{\beta}$

Selanjutnya, dengan menggunkan konsep jarak antara dua titik yang sudah dipelajari di SMP, kita akan menentukan jarak antara titik $A$ dan titik $B$

$\begin{align*}|AB|&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\&=\sqrt{(\cos{\beta}-\cos{\alpha})^2+(\sin{\beta-\sin{\alpha}})^2}\\&=\sqrt{\cos^2{\beta}-2\cos{\alpha}\cos{\beta}+\cos^2{\alpha}+\sin^2{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin^2{\alpha}}\end{align*}$

Berdasarkan identitas trigonometri, kita ketahui bahwa $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ dan $\sin^2{\beta}+\cos^2{\beta}=1$, maka dari  persamaan di atas kita peroleh

$\begin{align*}|AB|&=\sqrt{1+1-2\cos{\alpha}\cos{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}}\\&=\sqrt{2-2\cos{\alpha}\cos{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}}\\&=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}\end{align*}$ 

Kita sebut saja persamaan $|AB|=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}$ sebagai persamaan (1)

Jika juring $AOB$ kira rotasi searah jarum jam sejauh $\beta$ dengan pusat rotasi titik $O(0,0)$, maka $OB$ akan berimpit di sumbu $x$, seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Misal koordinat titik $A$ setelah di rotasi adalah $A'(x_1', y_1')$ 

$\cos{(\alpha-\beta)}=\frac{x_1'}{r}=\frac{x_1'}{1}=x_1'$ dapat kita tulis $x_1'=\cos{(\alpha-\beta)}$

$\sin{(\alpha-\beta)}=\frac{y_1'}{r}=\frac{y_1'}{1}=y_1'$ dapat kita tulis $y_1'=\sin{(\alpha-\beta)}$

Setelah dirotasi, titik $B$ terletak di sumbu $x$ dengan koordinat $B'(1,0)$

Selanjutnya kita akan mencari jarak antara titik $A'$ dan titik $B'$

$\begin{align*}|A'B'|&=\sqrt{(1-x_1')^2+(0-y_1')^2}\\&=\sqrt{(1-\cos{(\alpha-\beta)})^2+(0-\sin{(\alpha-\beta)})^2}\\&=\sqrt{1-2\cos{(\alpha-\beta)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}+\sin^2{(\alpha-\beta)}}\\&=\sqrt{2-2\cos{(\alpha-\beta)}}\end{align*}$

Kita sebut saja persamaan $|A'B'|=\sqrt{2-2\cos{(\alpha-\beta)}}$ sebagai persamaan (2)

Ukuran juring $AOB$ sebelum dan setelah rotasi tidak berubah (rotasi tidak mengubah ukuran), maka $|A'B'|=|AB|$, dari persamaan (1) dan persamaan (2) kita peroleh:

$\begin{align*}|A'B'|&=|AB|\\ \sqrt{2-2\cos{\alpha-\beta}}&=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}\\ 2-2\cos{(\alpha-\beta)}&=2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\\-2\cos{(\alpha-\beta)}&=-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\\ \cos{(\alpha-\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{align*}$

Catatan: Jika anda membuka tulisan ini menggunakan smartphone, kemungkinan equation terpotong. Silakan posisikan layar semartphon anda dalam mode landscape atau buka tulisan ini via PC/laptop.

Dari proses di atas, maka kita peroleh bahwa rumus cosinus selisih dua sudut yaitu $\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$

Untuk memperoleh rumus cosinus jumlah dua sudut, kita hanya perlu mensubstitusi $-\beta$ ke $\beta$ dan perlu diingat bahwa $\cos{(-\beta)}=\cos{\beta}$ dan $\sin{(-\beta)}=-\sin{\beta}$

$\begin{align*}\cos{(\alpha-(-\beta))}&=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)}\\ \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{align*}$

Contoh Penyelesaian Soal

Contoh 1

Tentukan nilai dari $\cos{15^\circ}$

Jawab:

$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\cos{(45^\circ-30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}+\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$

Contoh 2

Tentukan nilai dari $\cos{75^\circ}$

Jawab:

$\begin{align*}\cos{75^\circ}&=\cos{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$

Demikianlah materi yang dapat kami bagikan pada tulisan sederhana ini, semoga memberikan ilmu baru bagi anda. Jika ada kekeliruan mohon koreksinya, silakan isi kolom komentar.